Las funciones cuadráticas son esenciales en matemáticas debido a su amplia aplicación en diversas áreas. En este artículo, exploraremos su definición, características y cómo se representan gráficamente.
¿Qué es una Función Cuadrática?
Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado que puede expresarse en la forma: f(x) = ax^2 + bx + c.
Donde:
- a, b y c son coeficientes reales con a \neq 0.
La gráfica de una función cuadrática es una parábola.
Características de las Funciones Cuadráticas
- Concavidad: Si a > 0, la parábola es cóncava hacia arriba; si a < 0, es cóncava hacia abajo.
- Vértice: Es el punto máximo o mínimo de la parábola y se calcula como:
x_v = -\frac{b}{2a}
El valor de y en el vértice es: y_v = f(x_v)
- Eje de Simetría: Es la línea vertical que pasa por el vértice.
- Intersecciones con los Ejes:
- Eje y: En x = 0, f(0) = c.
- Eje x: Se encuentran resolviendo la ecuación cuadrática ax^2 + bx + c = 0 utilizando varios métodos, la fórmula general por ejemplo:
- x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Representación Gráfica
Para graficar una función cuadrática, se siguen estos pasos:
- Calcular el vértice: Usando las fórmulas mencionadas.
- Determinar la concavidad: Según el signo de a.
- Encontrar las intersecciones con los ejes: Evaluando f(0) y resolviendo ax^2 + bx + c = 0.
- Trazar la parábola: Utilizando los puntos obtenidos y la simetría respecto al eje del vértice.
Aplicaciones de las Funciones Cuadráticas
- Física: Describen trayectorias parabólicas en movimientos bajo la influencia de la gravedad.
- Economía: Modelan funciones de costo y beneficio con rendimientos crecientes o decrecientes.
- Ingeniería: Analizan estructuras parabólicas y optimizan diseños.
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