Guía para Resolver Sistemas de Ecuaciones

Los sistemas de ecuaciones son una herramienta fundamental en matemáticas y tienen aplicaciones en diversas áreas, como la economía, la ingeniería y la física. En este artículo, aprenderás qué son, cómo resolverlos y qué método elegir según el tipo de problema.

¿Qué es un sistema de ecuaciones?

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas que deben cumplirse simultáneamente.

Por ejemplo:

\begin{cases}  2x + y = 8  \\  x - y = 2  \end{cases}

El objetivo es encontrar los valores de x e y que satisfacen ambas ecuaciones.

---

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones

Existen varios métodos para resolverlos. Los tres más utilizados son:

1. Método de sustitución
2. Método de igualación
3. Método de eliminación (o reducción)

A continuación, veremos cada método con ejemplos detallados.

---

1. Método de sustitución

Este método consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra.

Ejemplo:

\begin{cases}  x + 2y = 10  \\  3x - y = 5  \end{cases}

Paso 1: Despejar una variable

Despejamos x en la primera ecuación:


x=10-2y

Paso 2: Sustituir en la otra ecuación

Sustituyéndolo en la segunda ecuación:


3(10-2y)-y=5

Distribuyendo:

30 - 6y - y = 5 

Simplificando:

30 - 7y = 5

Despejamos y:

-7y = -25  

 y = \frac{25}{7}

Paso 3: Sustituir y en la ecuación despejada

x = 10 - 2\left(\frac{25}{7}\right) 

 x = \frac{70}{7} - \frac{50}{7} = \frac{20}{7}

Solución final:

\left( \frac{20}{7}, \frac{25}{7} \right)

---

2. Método de igualación

Este método consiste en despejar la misma variable en ambas ecuaciones y luego igualarlas.

Ejemplo:

\begin{cases}  2x + 3y = 12  \\  4x - y = 5  \end{cases}

Paso 1: Despejar la misma variable en ambas ecuaciones

De la primera ecuación despejamos x:

x = \frac{12 - 3y}{2}

De la segunda ecuación despejamos x:

x = \frac{5 + y}{4}

Paso 2: Igualar ambas expresiones

\frac{12 - 3y}{2} = \frac{5 + y}{4}

Multiplicamos en cruz:

4(12 - 3y) = 2(5 + y)

48 - 12y = 10 + 2y

48 - 10 = 12y + 2y

38 = 14y

y = \frac{38}{14} = \frac{19}{7}

Paso 3: Sustituir y en una ecuación despejada

x = \frac{5 + \frac{19}{7}}{4}

x = \frac{54}{28} = \frac{27}{14}

Solución final:

\left(\frac{27}{14}, \frac{19}{7}\right)

---

3. Método de eliminación (reducción)

Este método consiste en sumar o restar las ecuaciones para eliminar una variable.

Ejemplo:

\begin{cases}  3x + 2y = 16  \\  5x - 2y = 4  \end{cases}

Paso 1: Sumar ambas ecuaciones

(3x + 2y) + (5x - 2y) = 16 + 4

3x + 5x = 20

8x = 20

x = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}

Paso 2: Sustituir x en una ecuación original

\frac{15}{2} + 2y = 16

Multiplicamos por 2:

15 + 4y = 32

4y = 17

y = \frac{17}{4}

Solución final:

\left(\frac{5}{2}, \frac{17}{4}\right)

---

¿Cuál método elegir?

• Método de sustitución: útil cuando una ecuación ya tiene una variable despejada o es fácil despejarla.
• Método de igualación: conveniente cuando se pueden despejar fácilmente las mismas variables en ambas ecuaciones.
• Método de eliminación: ideal cuando los coeficientes permiten eliminar una variable sumando o restando.

Cada método tiene ventajas, y la mejor elección depende del problema específico. ¡Practica con diferentes ejercicios y verás cómo mejora tu habilidad para resolver sistemas de ecuaciones! 🚀

Amplia y refuerza sobre el tema, aclara dudas y recibe una explicación mas personalizada por medio de una tutoría online.